\( \mathcal Alina \ \mathcal Lagrange \)
第五届八一赛供题与解答

\[\] Question 1.

设 \(m,n\in \mathbb N, n>m \geq 2, \) \[I_{m,n }=\int _{\mathbb R_+ }\frac{\mathrm dx }{\sqrt[m ]{1+ x^n}}, \] \[J_{m,n }=\int _{\mathbb R_ +\times \mathbb R_ + } e^{-x ^m-y^n } \mathrm dx\, \mathrm dy . \] 证明: \(\forall n>m \), \[I_{m,n }< \frac{n}{(n-m)J_{m,n }}. \] Proof. 令 \[ t=\frac{x^n}{1+x^n}, \] 则 \[1+x^n=\frac{1}{1-t} , \ \ \mathrm d x=\frac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}(1-t)^{-1-\frac{1}{n}} .\] 因此\[ \begin{aligned}I_{m,n}&=\frac 1n \int_0^1(1-t)^\frac{1}{m} t^{\frac{1}{n}-1}(1-t)^{-1-\frac{1}{n}}\mathrm dt\\&=\frac{1}{n}\int_0^1t^{\frac{1}{n}-1}(1-t)^{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}-1}\mathrm dt\\&=\frac{1}{n}B\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)\\&=\frac{1}{n}\frac{\Gamma(\frac{1}{n})\Gamma(\frac{1}{m}-\frac{1}{n})}{\Gamma(\frac{1}{m})}. \end{aligned} \]同时\[ \begin{aligned}J _{m,n }&= \int_{ \mathbb R_ +}e^{-x^m }\mathrm dx \int_{ \mathbb R_+} e^{-y^n }\mathrm dy \\&=\frac 1m \int_{\mathbb R_+ } t^{\frac1m -1 }e^{-t } \mathrm dt \frac1n \int_{\mathbb R_+ } t^{\frac1n -1 }e^{-t } \mathrm dt \\& = \frac 1m\Gamma \left(\frac1m \right)\cdot \frac 1n\Gamma \left(\frac1n \right). \end{aligned} \] 下面证明 \[\Gamma\left (\frac 1n \right )< n, \ \ \forall n\geq 2, \] 只需要证明 \[ x\Gamma \left (x \right )=\Gamma (x+1 )< 1, \ \forall x \in \left (0 ,\frac 12\right ]. \] 注意到 \(\Gamma (1)=\Gamma (2) =1 \), \( \Gamma (x)\) 在 \( (1,2 )\) 先递减, 后递增, \(\Gamma (x)<1 ,\forall x \in (1,2 )\). 所以上式成立. 我们得到了 \(\Gamma\left(\frac 1n \right )< n, \forall n\geq 2 \). 于是 \[\begin{aligned}I_{m,n} &=\frac {1}{n^2 m}\frac {\Gamma^2 ( \frac 1n )\Gamma( \frac {1}{m}-\frac 1n) }{J_{m,n} }\\& < \frac {1}{ m}\frac {\Gamma( \frac {1}{m}-\frac 1n) }{J_{m,n} }\\& < \frac {1}{ m}\cdot \frac {mn }{n-m } \cdot \frac { 1 }{J_{m,n} }\\&= \frac { n}{(n-m) J_{m,n } }. \end{aligned} \] \[\]\[\] Question 2.

记 \([x]\) 表示不超过 \(x \) 的最大整数, \( \{x \}=x-[x ]\), \( n\in \mathbb N_+ ,n \geq 2023, \) \[ I_n = \int _{(0,1)^n}\left\{ \frac 1{ x_1x_2 \cdots x_n } \right\} \mathrm dx_1 \mathrm dx_2 \cdots\mathrm dx_n, \] \[ \gamma_n= \lim_{N \to \infty } \left( \sum_{k=1} ^N \frac{\ln ^n k }{k }-\frac {\ln^n N }{ n+1 } \right), \] \[ S_n =\sum _{k=0 }^n \frac {\gamma_k } {k!}. \] 证明: 当 \( n-\mathfrak N=1\) 时, 有 \[ I_n+S_\mathfrak N \equiv 1 . \] Proof. 考虑坐标变换 \[\left\{\begin{array}{l} y_1= \dfrac{1}{x_1} \\ y_2=\hspace{0.06cm} \frac{1}{x_1 x_2} \\\hspace{0.6cm} \vdots \\ y_n = \frac{1}{x_1 x_2 \cdots x_n }\end{array}\right. \] 所以\[ I_n =\int_1^{\infty} \int_1^{y_n } \cdots \int_1^{y_2} \frac{\left\{y_n \right\}}{y_1 \cdots y_{n -1} y_n ^2} \mathrm{~d} y_1 \mathrm{ d} y_2 \cdots \mathrm{d} y_n =\int_1^{\infty} \frac{\{y\} \ln ^{n -1} y}{(n -1) ! y^2} \mathrm{~d} y. \] 两边同乘 \( n! \)\[ \begin{aligned} n ! I_n&= \lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{n(y-k) \ln ^{n-1} y}{y^2} \mathrm{~d} y \\& = \lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^N \left(\left.\frac{(y-k) \ln ^n y}{y}\right|_k ^{k+1}-\int_k^{k+1} \frac{k \ln ^n y}{y^2} \mathrm{~d} y\right) \\& =\lim _{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^N \frac{\ln ^n (k+1)}{k+1}-\sum_{k=1}^N \int_k^{k+1} \frac{k \ln ^n y}{y^2} \mathrm{~d} y\right) . \end{aligned} \] 于是 \[ \begin{aligned} n ! &I_{n+1}=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^N \int_k^{k+1} \frac{(y-k) \ln ^n y}{y^2} \mathrm{~d} y \\& =\lim _{N \rightarrow \infty}\left(\int_1^{N +1} \frac{\ln ^n y}{y} \mathrm{~d} y-\sum_{k=1}^N \int_k^{k+1} \frac{k \ln ^n y}{y^2} \mathrm{~d} y\right) \\ & =\lim _{N \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln ^{n +1}(N +1)}{n +1}-\sum_{k=1}^N \int_k^{k+1} \frac{k \ln ^n y}{y^2} \mathrm{~d} y\right)\end{aligned} \] 所以 \[ \begin{aligned}n !\left(I_n-I_{n+1}\right)& =\lim _{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^N \frac{\ln ^n(k+1)}{k+1}-\frac{\ln ^{n+1}(N +1)}{n+1}\right) \\& =\lim _{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^N \frac{\ln ^n k}{k}-\frac{\ln ^{n +1} N }{n+1}\right) \\ &=\gamma_n. \end{aligned} \] 对 \( \gamma_ n /n ! \) 求和, 注意到 \( \gamma_0=\gamma \) (Euler 常数) \[ \sum_{k=1}^{n-1}\left(I_k-I_{k+1}\right)=\sum_{k=1}^{n -1} \frac{\gamma_k}{k !} , \]\[ I_1-I_n=1-\gamma-I_n =\sum_{k=1}^{n -1} \frac{\gamma_k}{k !}. \]所以 \[ I_n + \sum_{k=0}^{n -1} \frac{\gamma_k}{k !}=1 . \] 这样一来, 我们证明了当 \( n-\mathfrak N=1\) 时, 有 \[ I_n+S_\mathfrak N \equiv 1 . \] \[\]\[\] Question 3.

证明: \(\forall t>0, \) \[ \sum_ { n\in \mathbb Z } e^{-\pi t n^2 }=\frac 1 { \sqrt t }\sum_{ n\in \mathbb Z } e^{-\frac{\pi n^2 }{t}}. \] Proof. 考虑 Possion 求和公式, 设 \(f(t)\in \mathcal S(\mathbb R )\), 有 \[\sum_{n\in \mathbb Z } f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z } \hat f(n). \]考虑 Fourier 变换的不动点, 即 \[f(x)=e^{-\pi x^2 }=\hat f(x). \] \( \forall t>0\), 设\[ f_t(x)=e^{-\pi t x^2 }, \] 运用 Fourier 变换性质, 有 \[\hat f_t(x)=\frac 1{\sqrt t}e^{-\pi \frac {x^2 } {t}}. \] 运用 Possion 求和公式, \[ \sum_ { n\in \mathbb Z } e^{-\pi t n^2 }=\frac 1 { \sqrt t }\sum_{ n\in \mathbb Z } e^{-\frac{\pi n^2 }{t}}. \] \[\]\[\] Question 4.

设 \(\varphi : \mathbb R\to \mathbb R, \varphi (x)\in C^\infty (\mathbb R )\). \(\forall x \in \mathbb R,\, \varphi (x)\geq 0 \), 并且 \( \varphi(x)\) 具有紧支集, 同时满足\[ \int _\mathbb R \varphi(x)\hspace{0.05cm}\mathrm dx=1. \] 定义\[\varphi _\theta(x)= \frac {1}{\theta }\varphi\left ( \frac x \theta \right ). \] 设 \( v(x )\in L^1(\mathbb R ) \cap L^2(\mathbb R ) \), 请你证明 \(\forall \theta >0 \) \[ \int_\mathbb R | \varphi_\theta *v(x) |^2 \mathrm dx\leq \int _\mathbb R |v(x )| ^2 \mathrm dx . \] 其中 \[ \varphi_\theta*v (x)=\int _\mathbb R \varphi_\theta (x-y) v(y )\mathrm dy. \] Proof. 由于 \( \varphi \geq 0 \), 注意到 \(\forall \theta >0 \) \[ \int _\mathbb R \varphi(x)\hspace{0.05cm}\mathrm dx= \int _\mathbb R \varphi_\theta (x)\hspace{0.05cm}\mathrm dx= \int _\mathbb R | \varphi_\theta (x)| \hspace{0.05cm}\mathrm dx= 1. \]运用 Plancherel 公式, 有\[ \begin{aligned}\int _\mathbb R |v(x )| ^2 \mathrm dx & =\|v \| ^2_{L^2 (\mathbb R )}\\& =\| \hat v \| _{L^2 ( \mathbb R ) }^2\\&=\int_ \mathbb R|\hat v (x)|^2\left(\int _\mathbb R \left|\frac1\theta \varphi \left( \frac y \theta \right ) \right| \cdot \left| e^{-2\pi i yx } \right|\mathrm dy\right) ^2\mathrm dx\\&\geq \int_ \mathbb R|\hat v (x)|^2\left( \left|\int_\mathbb R \frac1\theta \varphi \left( \frac y \theta \right ) \cdot e^{-2\pi i yx } \mathrm dy\right|\right) ^2\mathrm dx \\& = \int _\mathbb R |\hat v(x) \hat \varphi_\theta (x)|^2 \mathrm dx \\& =\int _\mathbb R |\widehat{v * \varphi_\theta } (x)|^2 \mathrm dx\\&= \int _\mathbb R |\widehat{ \varphi_\theta*v } (x)|^2 \mathrm dx \\& = \int _\mathbb R | { \varphi_\theta*v } (x)|^2 \mathrm dx. \end{aligned} \]从而完成证明. \[\]\[\] Question 5.

设 \( f(z)\) 是单位圆盘 \(D \) 上的全纯函数, 满足 \( f( z )\neq 0 \) 以及 \( f(z ) \neq 1 \).
(1) 函数族 \( \mathscr F \) 由全体不能取到三个(不同的)值 \(a,b,c \in \mathbb { \bar C} \) 的亚纯函数组成. 证明 \(\mathscr F\) 是 \(D\) 上的正规族.
(2) 如果 \(| f(0)| < M \), 证明: 存在常数 \( L>0 \), \( \forall r\in(0,1 )\) 以及 \(|z|< r\)， \[ \arctan (|f(z)|) <\arctan M+\frac{2 r L}{1-r^2}. \] Proof. (1) 考虑 \( F\in \mathscr F \) 与分式线性变换的复合, 只需考虑不能取到 \(0,1,\infty \) 三个值的函数. 我们定义单位圆盘上的函数集合 \( \mathcal F_n \), 其中的函数不能取到 \( 0,\infty, e^{ 2 \pi ik/n }, ( k=1,2, \cdots , n ) \). 显然有 \( \mathscr F =\mathcal F_1 \). 如果 \(f\in \mathscr F \), 有 \(\sqrt [n]f\in \mathcal F_n \). 同时, 如果 \( h\in \mathcal F_n \), \( h^n \in\mathscr F \). 假设 \( \mathscr F \) 不是正规族, 那么对于所有的 \( n\), \(\mathcal F _n \) 也都不是正规族. 记 \[ E_n:= \{ 0,1 , e^{2\pi i k/n}, k=1,2,\cdots , n-1 \}. \]对于所有的 \(n\), 我们可以得到非常值整函数 \(g_n \), 在这里对于每个 \( n\), \(g_n \) 都是一类不能取到 \(E_n \) 中的元素的函数列 \( \varphi _k \) 的极限函数. 根据 Hurwitz 定理, \(g_n\) 也不能取到 \(E_n\) 中的元素. 考虑 Chordal 度量 \[ \chi (z,z^\prime )=\frac {|z-z^\prime |}{\sqrt{ 1+|z|^2 }\cdot \sqrt {1+|z^\prime| ^2 }}. \] 我们还有 \[ \begin{aligned}g_n^\sharp(z) & =\lim_{\epsilon \to 0 }\frac{\chi( g(z+\epsilon ,z )) }{|\epsilon | } \\&=\frac{|g^\prime(z)| }{1+|g(z)| ^2 }\\&\leq g_n^\sharp (0)\\&=1 \end{aligned}\]考虑函数族\[ \mathfrak G =\{ g_{2^n }\},\] 知\[ g_{2^n }^\sharp (z) \leq 1 ,\ \ \forall z\in \mathbb C. \] 根据 Marty 定理, \(\mathfrak G \) 是 \(\mathbb C \) 上的正规族, 所以 \(\mathfrak G \) 存在一个紧集上 \(\chi \)-一致收敛于极限函数 \(G \) 的子列. 由于对所有的 \( n\), \( g_{2^n }^\sharp (0 )\), \( G^\sharp (0)=1, \) 所以 \(G \) 同样不是常值. 我们定义集合 \[ T_n=S _ {2^n } = \{ 0,1 , e^{2\pi i k/2^n }, k=1,2,\cdots , 2^ n-1 \}. \]显然有 \[ T_{n}\subset T_{n+ 1 }. \] 所以当 \(m\geq n\), \( g_{2^m }\) 不能取到 \(T_n\) 中的元素,. 根据 Hurwitz 定理, 对于所有的 \( n \), \(G \) 取不到 \(T_n\) 中的元素. 由于 \(\bigcup\limits _{n=1 }^\infty T_n \) 在 \(\partial \bar D \) 稠密, \(G(\mathbb C )\) 是连通开集, 所以有 \[G(\mathbb C)\subset D, \] 或者\[ G(\mathbb C ) \subset \mathbb C -\bar D. \]根据 Liouville 定理, 二者都能推出 \(G\) 为常值函数, 引出矛盾. \newline (2) 设 $\mathscr{G}$ 表示单位圆盘上不能取到 0 和 1 的全体全纯函数构成的函数族, 记 \[ \varphi _a(\zeta ):= \frac{\zeta -a }{1-\overline a \zeta } \] 知 \(\operatorname{Aut} D=\{ \varphi _a ,a\in D \}\), \(\varphi _a(0)=-a \), \(\varphi^\prime _a (0)=1-|a|^2 \). 结合(1)的结论, \(\mathscr G \circ \operatorname{Aut} D \) 是正规族. 对于所有 \(f\circ \varphi_a \in \mathscr G \circ \operatorname{Aut} (D) \), $$ \frac{\left|f^{\prime}\left(\varphi_a(0)\right)\right|}{1+\left|f\left(\varphi_a(0)\right)\right|^2} \leq L . $$ 其中常数 \( L \) 与 \( f \circ \varphi_a \) 无关. 考虑用 \(z\) 代替 \(-a \), 我们得到 $$ \frac{\left|f^{\prime}(z)\right|\left(1-|z|^2\right)}{1+|f(z)|^2} \leq L , \ \ \forall z \in D. $$ 由于 \(f\) 不能取到 0, 对于任何固定的 \( z\in D_r = \{ z: |z| < r ,0< r<1 \}\), $t \rightarrow|f(t z)|$ 在 \((0,1 )\) 连续可导, $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\arctan (|f(t z)|)) \leq \frac{2\left|f^{\prime}(t z)\right||z|}{1+|f(t z)|^2} \leq \frac{2 r L}{1-r^2} \text {. } $$ 两边积分 $$ |\arctan (|f(z)|)-\arctan (|f(0)|)| \leq \int_0^1\left|\frac{d}{d t}(\arctan (|f(t z)|))\right| d t \leq \frac{2 r L}{1-r^2}. $$ 所以 $$ \arctan (|f(z)|) \leq \arctan (|f(0)|)+\frac{2 r L}{1-r^2}<\arctan M+\frac{2 r L}{1-r^2}. $$ \[\]\[\] Question 6.

设 \(C_S \) 是 \( \mathbb R^4 \) 上单位球的 Sobolev 常数, \(B_r \) 表示中心在原点, 半径为 \(r\) 的四维球. \(u\in W^{1,p }(B_1 )\cap C^\infty(\mathbb R^4 ),2\leq p\leq \infty \), \(u\geq 0 \) 并且满足 \[-\Delta u\leq u^2 . \] 同时存在 \(\varepsilon>0 \), 使得\[ \|u\|_{L^2(B_1) }\leq \varepsilon. \] (1) 证明: \[\| u \|_{ L^4 (B_\frac 34 )}\leq 24C_S \| u \|_{ L^2 (B_1) }. \] (2) 记 \( r_k =\frac 12+ \frac 1{2^k },\, k\in \mathbb N_+ \). 证明: 存在常数 \( C_k >0 \), 使得 \[\| u \|_{ L^{2^{k+1}} (B_{r_{k+1} } )}\leq C_k \| u \|_{ L^{2^k } (B_{r_k }) }. \] Proof. (1) 备注: 考虑证明过程中需要使用 Sobolev 不等式, Sobolev 共轭 \( p^* =np/(n-p)\), 在这里 \(n=4\), 所以 \(p\) 精确范围是 \(p\in [2,4) \), 而对于四维球 \(B_1 \), 由于 \(m(B_1)<\infty \), 如果 \( u\in W^{1,p} (B_1 )\), \(4\leq p\leq \infty \), 则一定有 \( u\in W^{1,m }(B_1) , \) 对 \( m\in [2,4) \). 选择一个函数 \(\eta (x)\), 满足 \(0\leq \eta \leq 1 \), 对于所有\( x\in B_{\frac 34 }\), \(\eta (x)=1 \), 在 \(B_1 \) 内具有紧支集, 并且 \( |\nabla u |\leq 8 \). 将 \( -\Delta u\leq u^2 \) 两边乘以 \(\eta^2 u \), 分部积分, 得到 $$ \int_{B_1} \eta^2|\nabla u|^2 \leq 2 \int_{B_1} \eta|\nabla u||\nabla \eta| u+\int_{B_1} \eta^2 u^3 $$ 根据 Young 不等式, 得出不等号右边第一项的估计 $$ \frac{1}{2} \int_{B_1} \eta^2|\nabla u|^2 d x \leq 128 \int_{B_1} u^2+\int_{B_1} \eta^2 u^3 . $$ 对于最后一项, 利用 H\(\mathrm { \ddot {o }} \)lder 不等式, 假设 \( B_1\) 上 \( \|u\| _{L^2 _{}(B_1 )}\)小于 $\varepsilon$, 同时利用 Sobolev 不等式, 我们有 $$\begin{aligned} \int_{B_1} \eta^2 u^3 &= \int_ {B_1} u\cdot \eta^2 u^2 \\& \leq \| u\| _{ L^2 (B_1 ) } \|\eta ^2 u^2\|_{ L^2 (B_1 ) } \\& = \| u\| _{ L^2 (B_1 ) }\|\eta u\|^2 _{ L^4 (B_1 ) } % \\ & \leq \varepsilon C_S^2 \int_{B_1} | \nabla(\eta u)^2 |\\ & \leq 2 \varepsilon C_S^2 \int_{B_1} \eta^2|\nabla u|^2+128 \varepsilon C_S^2 \int_{B_1} u^2, \end{aligned}$$ 其中 $C_S<\infty$ 是 $B_1$ 上的局部 Sobolev 常数. 注意到, 如我们选取 $\varepsilon$ 足够小使得 $2 \varepsilon C_S^2 \leq \frac{1}{4}$, 那么 $$ \frac{1}{4} \int_{B_1} \eta^2|\nabla u|^2 \leq 144 \int_{B_1} u^2 $$ 运用 Sobolev 不等式 \[ \|u\|_{L^4\left(B_{3 / 4}\right)} \leq 24 C_S\|u\|_{L^2\left(B_1\right)} . \] (2) 对于 \(k=1 \) 的情形第一问已经证明, 当 \(k \geq 2 \), 设 \( \alpha_k=2^{k-1} \), 将 \( -\Delta u\leq u^2 \)两边同时乘以 \( \eta_k^2 u^{2 \alpha_k-1} \). 与第一问类似, 截断函数 \(\eta _k \) 满足 \(0\leq \eta_k \leq 1 \), 对于所有 \( x\in B_{r_{k +1} }\), \(\eta (x)=1 \), 在 \(B_{ r_k } \) 内具有紧支集, 并且 \[ \left|\nabla \eta_k\right| \leq\frac 2 { r_k-r_{k+1} } .\] 分部积分, 得到 \[ \frac{2 \alpha_k-1}{\alpha_k^2} \int_{B_{r_k}} \eta_k^2\left|\nabla u^{\alpha_k}\right|^2 \leq 2 \int_{B_{r_k}} \eta_k|\nabla u|\left|\nabla \eta_k\right| u^{2 \alpha_k-1}+\int_{B_{r_k}} \eta_k^2 u^{2 \alpha_k+1} . \] 根据 Young 不等式处理不等号右边的第一项, 结合上面式子, 可以得出以下估计 \[ \frac{2 \alpha_k-1}{2 \alpha_k^2} \int_{B_{r_k}} \eta_k^2\left|\nabla u^{\alpha_k}\right|^2 \leq \frac{32 \alpha_k^2}{2 \alpha_k-1} \int_{B_{r_k}} u^{2 \alpha_k}+\int_{B_{r_k}} \eta_k^2 u^{2 \alpha_k+1} . \] 对于最后一项, 利用 H\(\mathrm { \ddot {o }} \)lder 不等式, Peter-Paul 不等式, Sobolev 不等式和第一问证明的结论, 有 \[\begin{aligned} \int_{B_{r_k}} \eta_k^2 u^{2 \alpha_k+1} & \leq\left(\int_{B_{r_k}} \eta_k^4 u^{4 \alpha_k}\right)^{1 / 4}\left(\int_{B_{r_k}} \eta_k^4 u^4\right)^{1 / 4}\left(\int_{B_{r_k}} u^{2 \alpha_k}\right)^{1 / 2} \\ & \leq \delta_k C_S^2 \int_{B_{r_k}}\left|\nabla\left(\eta_k u^{\alpha_k}\right)\right|^2+\frac{1}{4 \delta_k}\left(\int_{B_{r_k}} \eta_k^4 u^4\right)^{1 / 2} \int_{B_{r_k}} u^{2 \alpha_k} \\ & \leq 2 \delta_k C_S^2 \int_{B_{r_k}} \eta_k^2\left|\nabla u^{\alpha_k}\right|^2+\left(128 \delta_k C_S^2 \alpha_k^2+\frac{1}{4 \delta_k} 24^2 C_S^2 \varepsilon^2\right) \int_{B_{r_k}} u^{2 \alpha_k} . \end{aligned}\] 取 \[ \delta_k= \frac{ 2 \alpha_k-1 } { 8 \alpha_k^2 C_S^2 } , \]从而得到 \[ \frac{2 \alpha_k-1}{4 \alpha_k^2} \int_{B_{r_k}} \eta_k^2\left|\nabla u^{\alpha_k}\right|^2 \leq\left(\frac{32 \alpha_k^2}{2 \alpha_k-1}+16\left(2 \alpha_k-1\right)+\frac{18 \alpha_k^2}{2 \alpha_k-1}\right) \int_{B_{r_k}} u^{2 \alpha_k}, \] 再一次运用 Sobolev 不等式, 得到存在 \(C_k \), 使得 \[ \|u\|_{L^{2^{k+1}}\left(B_{r_{k+1}}\right)} \leq C_k\|u\|_{L^{2^k}\left(B_{r_k}\right)} . \] \[\]