第五届 Xionger 网络数学竞赛试卷
分析与方程组
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1. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
(1) 设 \(f\) 是右半平面 \(\mathbb C^+ =\{ z\in \mathbb C : \Re z>0 \} \) 上的全纯函数, \( \forall z\in \mathbb C^+ ,
|f(z)|<1 \). 并且 \( f( 1 ) =0 \). 证明 \[ \sum_{n=1 }^{2022} |f(n )|<\frac {4037 } 2 -2\ln 202. \]
(2) 已知 \[ f (z)=e^{z^2 }- \frac{ z^2 }{ \sqrt[2022]{ \ln (e^{2022 }+1)- 2022 } } .\] 试确定 \(f(z)\) 在单位开圆盘内的零点个数.
\[ \]
2. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
\( f(z ) \) 在单位开圆盘 \(D\) 内全纯, 在 \(\partial \overline D=\{ z: |z|=1 \}\) 上连续.
在 \( \partial \overline D \) 上满足 \[ f(z)= f(\frac 1z). \]
\(g(z)\) 是整函数, 满足 \( g(n)=0 , \ \forall n\in \mathbb Z \), \(|g(z) | \leq e^{\pi |\Im z |}\), \( \forall z\in \mathbb C \).
(1) 是否存在满足题意的非常值的 \( f \)? 如果存在, 求出所有的 \( f \); 如果不存在, 证明你的结论.
(2) 是否存在满足题意的非常值的 \( g \)? 如果存在, 求出所有的 \(
g \); 如果不存在, 证明你的结论.
\[ \]
3. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
设整函数 \(f : \mathbb C\to \mathbb C \) 满足
\[ \int _{\mathbb C} |f(z)|^2\mathrm d \ell (z)<\infty. \]
其中 \(\mathrm d \ell (z)= e^{-|z|^2}\mathrm d\lambda (z) \), \(\mathrm d\lambda (z) \)
是 \(\mathbb C \) 上的 Lebesgue 测度. 证明: 对于所有满足以上条件的 \(f\), 有 \[ f(z)=\frac1\pi\int _{\mathbb C} |f(\zeta )| e^ {z\bar \zeta}\mathrm d \ell (\zeta ), \ \ \ \ z\in \mathbb C. \]
\[\]
4. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
设 \(R>0\), \(B(0,R)\subset\mathbb R^n \) 表示球心在原点, 半径为 \(R\) 的 \(n \) 维球.
设 \(u\geq 0 \), \(u \) 在 \(B (0,\frac R4 )\) 内调和.
证明
\[ \sup _{x\in B(0,\frac R4 )}u(x )\leq \left(\frac 53 \right)^n \inf_{x\in B(0,\frac R4 )} u(x ). \]
5. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
设 \(E=[0,1]\),\(M>0, \; f_n\) 在集合 \( E \) 上几乎处处收敛于 \( f \), 并且对任意正整数 \( n \)
$$ \int_E | f_n|^4 \mathrm dx \leq M $$
证明
\[ \lim_{n\to\infty } \| f_n-f \|_ {L^1(E)} =0. \]
\[ \]
6. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
设 \( f \in L_{ \mathrm{ loc }}(\mathbb R ^n )
, Q\subset\mathbb R ^n \) 是中心在原点, 边平行于坐标轴的方体, 用 $$A_Q^*f =\frac{ 1}{m( Q)}\int _{ \mathbb R^n } |f ( y)-f_Q| \mathrm d { y } .$$
表示 \( f\) 在 \(Q\) 上的平均振动, 其中 \( f_ Q\) 表示 \( f\) 在 \( Q\) 上的平均值
\[ f _ Q = \frac{ 1}{m( Q)}\int _{ Q } |f ( y) | \mathrm d { y }. \]定义
$$\| f \|_{ \mathrm {BMO}} =\sup _{ Q \subset \mathbb R^n } A_Q^*f . $$
(1) 设 \(B\) 是 \( \mathbb R^n \) 中的单位球, \(f\in C^\infty , \ \mathrm{supp } f \subset B ,\)
\( \forall x \in B, \) 证明 \[ |f(x)-\frac{ 1 }{m(B)}\int_B f(y)\mathrm dy| \leq\frac{ 2^n }{n }\int_B\frac{ 1 }{ | x-y |^{n-1 }} \left( \sum_{i =1 } ^n \left( \frac{ \partial f(y ) }{\partial y_i }\right) ^2 \right)^{\frac 12 }\mathrm dy. \]
(2) 证明:
对所有 \(f\in \mathrm{ BMO }(\mathbb R^n ) \) 以及所有方体 \(Q \) 以及 \( \theta < 1/(2^ n e ), \) 有 \[ \frac 1{m( Q )}\int _ Q \exp \left( \frac{ \theta | f(x)-f_Q | }{\| f\|_{\mathrm{ BMO } } } \right )\mathrm dx<1+\frac { 2^n e^2 \theta }{1- 2^n e \theta }
{ }.
\]
\[ \]
7. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
设 \( A \subset \mathbb{R}\) 是 Lebesgue 可测集, 其测度 \(m(A)=m>1\). 现取定 \(n \in \mathbb{N} \) 是满足 \(n< m \) 的一个正整数. 证明: 存在 \(A\) 中 \(n+1\) 个两两不同的数 \(x_1, x_2, \cdots, x_{n+1} \in A\), 使得
$$
x_i-x_j \in \mathbb{Z}, \quad \forall i, j \in\{1,2, \cdots, n+1\} \text {. }
$$
\[ \]
8. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
设 \(V \subset C([0,1] ; \mathbb{R})\) 是线性子空间 (数域是 \( \mathbb F =\mathbb{R})\), 且存在 \(C>0\) 使得 $$ \max _{x \in[0,1]}|f(x)| \leq C\left(\int_0^1|f(x)|^2 d x\right)^{1 / 2}, \quad \forall f \in V . $$ 证明: \(V\) 是有限秩线性空间.
\[ \]
9. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
求所有满足下述条件的实数 \(a \in \mathbb{R}:\) 存在可微函数 \(f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)\) 使得 $$ f^{\prime}(x)=f(x+a), \quad \forall x \in \mathbb{R} . $$
\[ \]
10. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
设 \( T\) 是 Hilbert 空间 \(\mathcal{H}\) 上的一个压缩算子, 即 \(\|T\| \leq 1\). 对任意正整数 \(n\), 定义 $$ K_n=I+\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{k}{n+1}\right)\left(T^k+T^{* k}\right) . $$ 证明: \(K_n \geq 0, n=1,2, \cdots\).
\[ \]
11. (云南大学, Ulyanov Aleksandro 供题)
Let \( P_n(z)=a_n z^n+\cdots+a_0\) be polynomial of degree \(n\) and \(n\) be any positive integer. Show that the equation \( e^z-P_n(z)=0\) has infinitely solutions in \( \mathbb{C}\).
\[ \]
12. (云南大学, Ulyanov Aleksandro 供题)
Let \(P_n(z)\) be polynomial of degree \(n . P_n^*(z)=z^n P_n\left(\frac{1}{z}\right)\). Show that if all the zeros of \(P_n(z)\) are in \(B(\infty, 1)\), then all the zeros of \(P_n(z)+e^{i \theta} P_n^*(z)(\theta \in \mathbb{R})\) are lie on \( \partial B(0,1)\).