\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 8\ \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
设正测度集合 \( E,F\subset \mathbb R \), 证明 \[ E+F=\{x+y: x\in E ,y \in F \} \] 包含了一个区间.
\(\mathcal{P}roof. \)
定义 \[ E-F=\{x-y:x\in E,y\in F \}. \] 根据前面题目的结论, 存在开区间 \(I,J \) 使得 \[m(E\cap I)\geq \frac 34 m(I)\] \[m(F\cap J)\geq \frac 34 m(J)\] 所以不失一般性, 可以假设 \( m(I)>m(J) \), 那么存在 \(a\) 使得 \(J +a \subseteq I \). 设 \( 0<|c|< \frac 14 m(J)\), 区间 \(I\) 以及 \(J+a+c \) 在区间 \(K\) 内相交. (\(m(K)>\frac34 m(J)\)). 我们有 \[ m(E\cap I)=m(E\cap K )+m (E\cap(I-K))< m(E\cap K)+\frac 14 m(J) \] 所以\[ m(E\cap K) >\frac 34 m(I)-\frac 14 m(J) >\frac 34 m(J)-\frac 14 m(J)=\frac 12 m(J) \]以及\[ \begin{aligned} m(F\cap J)&=m((F+a+c)\cap(J+a+c)) \\ &= m((F+a+c)\cap K)+m((F+a+c)\cap (J+a+c)-K ) \\& < m((F+a+c)\cap K) +\frac 14m(J) \end{aligned} \] 我们得到了 \[ m((F+a+c)\cap K)> \frac 12 m(J). \] 注意到 \( (E\cap K) \cup [(F+a+c)\cap K ]\subset K \), 有 \( m ( ( E\cap K) \cup [(F+a+c)\cap K ] )\leq m(K)\leq m(J ) \). 然而根据前面 \[ m(E \cap K)> \frac 12 m(J), \ m((F+a+c)\cap K)> \frac 12 m(J). \] 结合以上两个方向的不等式, 有 \[ (E\cap K) \cup [(F+a+c)\cap K ] \neq \varnothing. \] 因此必定存在 \( x\in F \) 使得 \( x+a+c\in E \). 所以 \(a+c\in \{x-y: x\in E ,y \in F \} \). 由于这对于 \( 0< c< \frac 14 m(J) \) 都成立, 有\((a- \frac 14 m(J), a- \frac14 m(J)) \subset E-F \). 所以 \( E-F=\{x-y: x\in E ,y \in F \} \) 包含了一个区间. 设 \(-F =\{-y: y\in F \} ,m(F)=m(-F)\), 有 \( E+F=E-(-F)\), 所以根据对称性同理 \[ E+F=\{x+y: x\in E ,y \in F \} \] 包含了一个区间.