\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 7 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
设 \(A \subset \mathbb R ,m (A)>0 \). 证明: 对所有的 \(\ell \in (0,1 ) \), 都存在对应开区间 \( I \) 使得 \[m(A\cap I) \geq \ell m(I )\]
\(\mathcal{P}roof. \)
不妨假设 \( m(A)<\infty \), 取 \( \varepsilon= ( \frac 1 \ell -1 )m(A) \), 设 \(\{B_n\}_{n=1}^\infty \) 是 \(A\) 的可数开覆盖, 满足 \[ \sum_{n=1}^\infty m(B_n) \leq m(A)+ \varepsilon. \] 根据次可加性, \[ \begin{aligned} m \left( \bigcup _{n=1} ^\infty B_n \right) & \leq \sum _{n=1} ^ \infty m(B _n)\leq m(A)+\varepsilon \\ & = m(A)+(\frac 1\ell -1 ) m(A) \\ & =\frac 1 \ell m(A).\end{aligned} \] 我们有 \( \ell m \left( \bigcup _{n=1} ^\infty B_n \right) \leq m(A) \). 开集 \(\bigcup_{n=1}^\infty B_n \) 可以表示为可数开区间的并集. i.e. \[\bigcup_{n=1}^\infty B_n=\bigcup_{n=1}^\infty I_n \] 这里 \(\forall i\neq j , I_i\cap I_j = \varnothing . \) \[m \left ( \bigcup_{n=1}^\infty B_n \right) =m \left ( \bigcup_{n=1}^\infty I_n \right) =\sum _{n=1}^\infty m(I_n) . \] 注意到\[\bigcup_{n=1} ^\infty (A\cap I_n)= A . \] 并且 \(\forall m\neq n, (A\cap I_m)\cap (A\cap I_n ) =\varnothing \). 我们得到了对所有的 \(\ell \in (0,1 ) \), 都存在 \( n \in \mathbb N \) 对应开区间 \( I_n \) 使得 \[m(A\cap I_n) \geq \ell m(I_n ) . \] \[ \]