\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 5 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
Let \(f_{n} \in L^{p}(E), 1 \leq p<\infty, f_{n}\) converges to \( f \) weakly. Show that \[ \liminf _{n \rightarrow \infty}\left\|f_{n}\right\|_{p} \geq\|f\|_{p}. \]
\(\mathcal{P}roof. \)
Let \( g(x)=\operatorname{sign}(x) f(x)^{p(1-1 / p)}\), then by the weak convergence $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E} f_{n} g=\int_{E} f g=\|f\|_{p}^{p} $$ by the Hölder inequality, we have $$ \left\|f_{n} g\right\| \leq\left\|f_{n}\right\|_{p}\|g\|_{q}, 1 / p+1 / q=1, p, q \in \mathbb{R}^{+} $$ i.e. $$ \begin{aligned} \|f\|_{p}^{p} & \leq\|f\|_{p}\|g\|_{q} \\ &=\left\|f_{n}\right\|_{p}\left\|f^{p(1-1 / p)}\right\|_{q} \\ &=\left\|f_{n}\right\|_{p}\|f\|_{p}^{p} \frac{1}{\|f\|_{p}} \end{aligned} $$