\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 14 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
设 \( abc\neq 0, \) 计算 $$ I=\iiint_B \cos (a x+b y+c z) {d} x {~d} y {~d} z $$ 其中 \( B=\left\{x^2+y^2+z^2 \leq 1\right\}\).
\(\mathcal{S}olution. \)
考虑正交变换 $$ \zeta=\frac{a x+b y+c z}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$ 雅可比行列式$$ \det J =1, B =\left\{\xi^{ 2}+\eta^2+\zeta^2 \leq 1\right\} $$ 记 $$ \mu=\sqrt{a^2+b^2+c^2} $$$$ I=\iiint _B \cos (\mu \zeta) \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \zeta { } $$考虑柱坐标 \( \xi=r \cos \theta, \eta=r \sin \theta, \zeta=\zeta\), 这时 $$ B=\left\{-1 \leq \zeta \leq 1,0 \leq \eta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq \sqrt{1-\zeta^2}\right\} $$ 有 $$ \begin{aligned} I&=\int_{-1}^1 \cos (\mu \zeta) {d} \zeta \int_0^{2 \pi} {d} \theta \int_0^{\sqrt{1-\zeta^2}} r {~d} r\\& =2 \pi \int_0^1\left(1-\zeta^2\right) \cos (\mu \zeta) {d} \zeta \\& =\frac{4 \pi}{ a^2+b^2+c^2 }\left(\frac{\sin \sqrt{a^2+b^2+c^2} }{\sqrt{a^2+b^2+c^2} }-\cos \sqrt{a^2+b^2+c^2} \right) \end{aligned} $$