\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 12 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
设 \( \Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1\), 证明 $$ \frac{4 \sqrt[3]{2 }\pi}{3} \leq \iiint_{B } \sqrt[3]{x+2 y-2 z+5} dxdydz \leq \frac{8 \pi}{3} . $$
\(\mathcal{P}roof. \)
令 \( f(x, y, z)=x+2 y-2 z+5\)， $$ f_x^{\prime}=1 \neq 0, f_y^{\prime}=2 \neq 0, f_z^{\prime}=-2 \neq 0 \text {, } $$ 所以 \( f(x)\) 在 \( \Omega\) 内部无驻点, 必然在边界上取得极值. 令 $$ L(x, y, z, \lambda)=x+2 y-2 z+5+\lambda\left(x^2+y^2+z^2-1\right) . $$ $$ \begin{array}{l} L_x=1+2 \lambda x=0,\\ L_y=2+2 \lambda y=0, \\ L_z=-2+2 \lambda z=0, \\L_\lambda=x^2+y^2+z^2-1=0. \end{array} $$ 驻点以及其对应函数值 $$ f\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)= 8, \ \ f\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)= 2 $$ 可知 \( \sqrt[3]{f(x, y, z)}\) 的最大值为 \( \sqrt[3]{8}\), 最小值为 \( \sqrt[3]{2}\). 所以有 $$ \iiint_B \sqrt[3]{2} dxdydz \leq \iiint_ B \sqrt[3]{x+2 y-2 z+5} dxdydz \leq \iiint_B {\sqrt[3]{8}} dxdydz. $$ 所以 $$ \frac{4 \sqrt[3]{2 }\pi}{3} \leq \iiint_{B } \sqrt[3]{x+2 y-2 z+5} dxdydz \leq \frac{8 \pi}{3} . $$