Exercise
⊕
Problem
10
你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析)
——————Alina Lagrange
讨论函数
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
y
z
在约束条件
x
2
+
y
2
+
z
2
=
1
,
x
+
y
+
z
=
0
下的最值.
S
o
l
u
t
i
o
n
.
由于约束条件为一个有界闭集，故(连续函数)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
y
z
在有界闭集上必有最大值和最小值. 令
L
(
x
,
y
,
z
,
λ
,
μ
)
=
x
y
z
+
λ
(
x
2
+
y
2
+
z
2
−
1
)
+
μ
(
x
+
y
+
z
)
有
{
y
z
+
2
λ
x
+
μ
=
0
x
z
+
2
λ
y
+
μ
=
0
x
y
+
2
λ
z
+
μ
=
0
x
2
+
y
2
+
z
2
=
1
x
+
y
+
z
=
0
解出
μ
=
−
x
y
+
x
z
+
y
z
3
=
1
6
.
代回去并且讨论:
如
x
=
y
, 则
(
1
6
,
1
6
,
−
2
6
)
,
(
1
6
,
−
1
6
,
2
6
)
如
x
=
z
,
(
1
6
,
−
2
6
,
1
6
)
,
(
−
1
6
,
2
6
,
−
1
6
)
如
y
=
z
则
(
−
2
6
,
1
6
,
1
6
)
,
(
2
6
,
−
1
6
,
−
1
6
)
可得
f
(
1
6
,
1
6
,
−
2
6
)
=
f
(
1
6
,
−
2
6
,
1
6
)
=
f
(
−
2
6
,
1
6
,
1
6
)
=
−
1
3
6
f
(
−
1
6
,
−
1
6
,
2
6
)
=
f
(
−
1
6
,
2
6
,
−
1
6
)
=
f
(
2
6
,
−
1
6
,
−
1
6
)
=
1
3
6
最小值(也是极小值)为
−
1
3
6
. 最大值(也是极大值)为
1
3
6
.
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