\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 10 \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
讨论函数 \(f(x, y, z)=x y z\) 在约束条件 \(x^2+y^2+z^2=1 , x+y+z=0\) 下的最值.
\(\mathcal{S}olution. \)
由于约束条件为一个有界闭集，故(连续函数) \(f(x, y, z)=x y z\) 在有界闭集上必有最大值和最小值. 令 $$ L(x, y, z, \lambda, \mu)=x y z +\lambda\left(x^2+y^2+z^2-1\right)+\mu(x+y+z) $$ 有 $$ \left\{\begin{array}{l} y z+2 \lambda x+\mu=0 \\ x z+2 \lambda y+\mu=0 \\ x y+2 \lambda z+\mu=0 \\ x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0 \end{array}\right. $$ 解出 \[ \mu=-\frac{x y+x z+y z}{3}=\frac{1}{6}. \] 代回去并且讨论: